Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства в телерадиовещании

12 Симметричный вибратор | назад | содержание | вперёд |

12 Симметричный вибратор

12.1 Исходные положения

Электрическим вибратором называется проводник конечной длины, в разрез которого подключается источник переменного тока высокой частоты. Отрезки проводника длиной l с обеих сторон источника тока называются плечами вибратора. Если плечи имеют одинаковую длину и форму, то такой вибратор называется симметричным (рис. 12.1).

При исследовании характеристик симметричного вибратора возникают две задачи – внутренняя и внешняя. Внутренняя задача имеет целью определение законов распределения тока и напряжения по вибратору (задача синтеза), если известны характеристики поля излучения. Внешняя задача (задача анализа) является обратной. Ее целью является определение характеристик поля излучения, если законы распределения тока и напряжения по вибратору известны.

В строгой постановке обе задачи решаются на основании волновых уравнений с правой частью. Однако при этом возникают значительные математические трудности. В инженерной практике эти задачи можно решить существенно проще при заданной погрешности, если использовать в качестве аналога вибратора двухпроводную длинную линию, разомкнутую на конце. Длинная линия с параллельно расположенными проводами практически не излучает электромагнитные волны, если расстояние между проводами много меньше длины волны. Тогда поля, излучаемые каждым проводом в произвольной точке пространства, складываются в противофазе, обеспечивая нулевое значение результирующего поля. Если провода развести, расположив их в одну линию, то, как следует из рис. 12.1, поле в произвольной точке пространства будет результатом суперпозиции синфазно возбужденных полей отдельных проводов. Симметричная двухпроводная линия превращается в симметричный вибратор. На этом основана аналогия между симметричным вибратором и длинной линией.

Законы распределения тока и напряжения в двухпроводной линии в режиме холостого хода хорошо известны как результат решения дифференциальных уравнений второго порядка. Используя эти законы, можно установить с определенной погрешностью законы распределения тока и напряжения в вибраторе. Погрешность расчетов возникает из-за того, что режимы работы линии и вибратора, строго говоря, неодинаковы. Различия заключаются в том, что вибратор излучает электромагнитные волны, а линия нет, поэтому в уравнениях линии этот факт не учитывается. Кроме этого, волновое сопротивление линии по всей ее длине постоянное, а волновое сопротивление вибратора непостоянно. Однако при установлении характера распределения тока и напряжения в вибраторе этими различиями можно пренебречь.

12.2 Эпюры распределения тока и напряжения в симметричном вибраторе

Решения дифференциальных уравнений для длинной линии имеют вид:

(12.1)

где k - волновое число, Wл – волновое сопротивление линии, х - расстояние от конца линии.

Величина называется постоянной распространения и определяется как

,

где α - коэффициент затухания.

В отличие от длинной линии, в вибраторе в первом приближении можно пренебречь потерями на джоулево тепло. Тогда для вибратора:

(12.2)

где - волновое сопротивление вибратора.

Учитывая, что , а , можно записать:

(12.3)

Как и в линии в режиме холостого хода, ток на концах вибратора равен нулю. Поэтому выражения (12.3) примут вид:

(12.4)

Здесь - ток и напряжение в пучности.

Из полученных формул (12.4) следует, что ток и напряжение в вибраторе сдвинуты по фазе относительно друг друга в пространстве на 90° (в формулах и ) и на 90°во времени (наличие j).

На основании (12.4) нетрудно построить эпюры тока и напряжения для симметричного вибратора различной длины. Примеры эпюр приведены на рис. 12.2.

12.3 Решение внешней задачи. Определение напряженности поля в зоне излучения

В основе метода решения задачи лежит принцип, в соответствии с которым поле в произвольной точке пространства является суперпозицией (суммой) полей элементарных излучателей, на которые условно разбивается вибратор. Простота метода заключается в том, что поле, создаваемое каждым элементарным излучателем, известно (11.1). Остается только сложить эти поля с учетом их фаз и амплитуд. Постановка задачи понятна из рис. 12.3.

Выделим на вибраторе два бесконечно малых отрезка dy симметрично относительно середины вибратора, которым вследствие их малости можно придать свойства элементарного электрического излучателя (постоянство амплитуды и фазы по всей их длине) (рис. 12.4). Полагая, что точка наблюдения находится на расстоянии много большем длины волны, радиусы векторы от элементарных участков вибратора r1 и r2 образуют совместно с центральным радиусом - вектором r0 практически систему параллельных линий. Тогда поле первого элементарного излучателя можно определить по формуле

(12.5)

а поле второго - по формуле

(12.6)

Как следует из рис. 12.4, , а . Амплитуда тока в элементарных излучателях связана с током в пучности соотношением:

(12.7)

Без заметной погрешности в знаменателе (12.5) и (12.6) r1 и r2 можно положить равными r (r1 ≈ r2 ≈ r). Тогда результирующее поле двух излучателей определится как:

(12.8)

С учетом того, что , формула (12.8) примет вид:

(12.9)

Интегрируя по l, получим:

(12.10)

В результате интегрирования окончательно получим :

(12.11)

где представляет собой фазу поля, - амплитуду, а выражение показывает зависимость амплитуды поля от угла обхода вибратора по окружности радиуса r, т.е. представляет собой аналитическое выражение диаграммы направленности вибратора. В качестве примера рассмотрим диаграмму направленности вибратора различной длины.

В качестве примера рассмотрим диаграмму направленности вибратора различной длины.

1. l<<α (короткий вибратор), .

   Функции и разложим в ряд по правилу:

   Удерживая первые два члена разложения для F(φ), окончательно получим:

   Таким образом, диаграмма направленности короткого вибратора такая же, как и у диполя Герца:

2. (полуволновый вибратор), .
3. (волновый вибратор),
4. ,

На рис. (12.5), (12.6), (12.7) и (12.8) приведены примеры диаграмм направленности симметричного вибратора в полярных координатах.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Диаграмма направленности (ДН) симметричного вибратора зависит от его электрической длины .
2. У коротких вибраторов ДН практически совпадает с ДН диполя Герца.
3. С увеличением ширина главного лепестка ДН уменьшается.
4. При начинает уменьшаться интенсивность главного лепестка и появляются дополнительные (боковые) лепестки.
5. Уровень боковых лепестков увеличивается при дальнейшем увеличении , и при главный лепесток исчезает.
6. При любой длине вибратора излучение вдоль его оси отсутствует.

Ширину главного лепестка ДН принято оценивать либо по нулевому излучению (рис. 12.9), либо по половинной мощности (0,707 по напряженности поля) (рис. 12.10):

12.4 Сопротивление излучения симметричного вибратора

Сопротивление излучения симметричного вибратора характеризует излучающую способность последнего и определяется через его мощность излучения (В.4):

(12.12)

где Iп - амплитуда тока в пучности, - сопротивление излучения, отнесенное к пучности тока.

Излучаемую мощность можно также выражать через амплитуду тока в точках питания вибратора (В.2):

(12.13)

где - сопротивление излучения, отнесенное к току в точках питания. Если ток в вибраторе распределяется по синусоидальному закону, то

(12.14)

где l - длина плеча вибратора

Тогда из (12.13) и (12.14) следует, что

(12.15)

Примечание: Аппроксимация распределения тока по вибратору синусоидальным законом допускается только в случае достаточно тонких вибраторов (радиус проводника r << 0,001λ)

По определению (11.2):

(12.16)

где - вещественная часть комплексного вектора Пойнтинга:

(12.17)

Подставим вещественную часть (12.11) и (11.4) в формулу (12.16). В результате простых преобразований получим

(12.18)

откуда с учетом (12.12) запишем выражение для :

(12.19)

Результат интегрирования оказывается очень громоздким и, следовательно, неудобным для вычислений . Поэтому на практике чаще всего определяют из графика

12.5 Действующая длина симметричного вибратора

Определение сопротивления излучения вибратора на основании формулы (12.19) является достаточно трудоемкой работой. Определение же по графику рис. 12.11 не всегда обеспечивает требуемую точность. Значительно легче определять путем введения понятия действующей длины () вибратора (см. В.3).

Суть дела заключается в замещении исходного вибратора с реальным распределением тока по его длине эквивалентным вибратором с током постоянной амплитуды. В результате по аналогии с (11.7):

(12.20)

В соответствии с (В.3) действующей длиной симметричного вибратора называется длина эквивалентного вибратора с постоянной амплитудой тока по его длине и равной амплитуде тока в точках питания исходного вибратора при условии, что оба вибратора создают одинаковую напряженность поля в направлении максимума излучения (рис.12.12). определим из равенства:

где - амплитуда напряженности поля элементарного электрического излучателя,

- амплитуда напряженности поля симметричного вибратора.

Учитывая, что и , получим

(12.21)

Пример 12.1. , , , ; (12.22)

Из (12.2) следует, что действующая длина короткого вибратора равна длине плеча.

Пример 12.2. , , , . (12.23)

Пример 12.3. , , , . (12.24)

Из примера 12.3 следует, что для вибратора, у которого , понятие действующей длины не имеет реального смысла.

12.6 Входное сопротивление симметричного вибратора

Входным сопротивлением симметричного вибратора называется отношение напряжения к току в точках его питания. Как любой проводник, вибратор обладает активным и реактивным (индуктивным или емкостным) сопротивлением. Поэтому входное сопротивление в общем случае является комплексной величиной (В.5):

(12.25)

Для определения удобно воспользоваться прототипом симметричного вибратора – симметричной двухпроводной линией, аналогия между которыми проведена в разделе (12.1). Несмотря на их принципиальное различие, в случае тонких вибраторов распределение напряжения и тока по вибратору достаточно точно описывается уравнениями длинной линии (12.2):

(12.26)

где - волновое сопротивление вибратора, - напряжение и ток в точках питания вибратора, - постоянная распространения.

В отличие от длинной линии, волновое сопротивление симметричного вибратора не постоянно по его длине и может быть определено по усредненным параметрам L и С:

(12.27)

Однако на практике удобнее определить WВ через его геометрические характеристики. Если , то

, Ом, (12.28)

где l - длина плеча вибратора, а r – его радиус.

Если , то более точные результаты расчета получаются по формуле

, Ом.

В случае плоского вибратора за эквивалентный радиус вибратора принимают 0,25 ширины полосы вибратора.

Из (12.26) определим Zвх, полагая :

(12.29)

где - коэффициент затухания.

преобразуем в соответствии с равенством:

(12.30)

Значения sh и ch определим, представив эти функции в виде ряда:

(12.31)

(12.32)

Сумму ряда можно определить с достаточной точностью, удержав в (12.31) первый член разложения, а в (12.32) первых два, т.е.

После подстановки формула (12.29) примет вид:

. (12.33)

По определению

. (12.34)

По определению

где Rп – погонное сопротивление потерь, которое складывается из распределенного по вибратору сопротивления излучения и распределенного сопротивления , на котором рассеивается тепловая энергия:

. (12.35)

По определению

В случае симметричного вибратора, как правило, . Отсюда

. (12.36)

Величина может быть определена из условия

. (12.37)

откуда

. (12.38)

В случае наиболее часто применяемых вибраторов (полуволновых, l=0,25λ и волновых, l=0,5λ) интеграл в выражении (12.38) равен 0,5l. Тогда

, (12.39)

После подстановки (12.39) в (12.33) и ряда простых преобразований получим:

. (12.40)

где

. (12.41)

. (12.42)

Исследуем Zвх на ряде примеров.

Пример 12.4.

, (короткий вибратор).

В этом случае (тонкие вибраторы, у которых , имеют Wв порядка 1000 Ом).

Тогда

. (12.43)

. (12.44)

Из (12.44) следует, что Хвх имеет отрицательное значение, т.е. реактивная составляющая входного сопротивления короткого вибратора имеет емкостной характер. Эквивалентная схема короткого вибратора приведена на рис. 12.13.

Пример 12.5.

, , Ом, Хвх = 0.

Таким образом, полуволновый симметричный вибратор подобен последовательному колебательному контуру, настроенному в резонанс (рис. 12.14).

Пример 12.6.

, .

В этом случае , т.е. Rвх изменяется от 73,1 Ом до нескольких кОм, а Хвх приобретает положительный (индуктивный) характер. Эквивалентная схема вибратора представлена на рис. 12.15.

Пример 12.7.

, , v , кОм Хвх = 0

Как следует из расчета, вибратор с эквивалентен параллельному колебательному контуру, настроенному в резонанс. Эквивалентная схема вибратора представлена на рис. 12.16.

Таким образом, вибраторы, у которых длина кратна половине длины волны, имеют чисто активное входное сопротивление. Такие вибраторы называются настроенными, или резонансными. На рис. 12.17 приведена зависимость реактивной составляющей входного сопротивления симметричного вибратора от его длины.

Реактивная составляющая входного сопротивления вибратора определяет реактивную мощность, т.е. часть подводимой мощности к вибратору, которая с ним связана и не участвует в излучении. Как следует из (12.40) для уменьшения реактивной мощности нужно уменьшать волновое сопротивление вибратора, что достигается увеличением площади его плеч.

12.7 Полоса пропускания симметричного вибратора

Симметричный вибратор как любая резонансная система, обладает определенной полосой пропускания. Полосой пропускания 2 симметричного вибратора принято называть полосу частот на границе которой амплитуда тока в вибраторе уменьшается в раз. Соответственно на границе полосы пропускания активная составляющая входного сопротивления Rвх равна модулю реактивной составляющей . Равенство этих величин положим в основу определения полосы пропускания вибратора. Полагая, что и , получим:

. (12.45)

В случае полуволнового вибратора ( ) , .

Тогда . (12.46)

В связи с малостью по сравнению с ω заменим тангенс аргументом:

. (12.47)

где Rвх=73,1 Ом, , f – центральная частота полосы пропускания.

Из (12.47) следует, что или . (12.48)

Таким образом, полоса пропускания тонкого (Wв = 1000 Ом) полуволнового симметричного вибратора определяется как

. (12.49)

Например, на частоте f = 100 МГц МГц.

В случае волнового вибратора из (12.40) следует, что

. (12.50)

Из (12.50) , (12.51)

В дальнейшем выполним все операции подобно тому, как это было сделано в случае полуволнового вибратора:

. (12.52)

Отсюда

или ,. (12.53)

где = 200 Ом .

Тогда .

На частоте f = 100 МГц = 14 МГц. (12.54)

Из приведенных расчетов следует, что волновой вибратор имеет более широкую полосу пропускания, чем полуволновый.

Для увеличения полосы пропускания симметричного вибратора, как следует из (12.48) и (12.53), нужно уменьшать его волновое сопротивление Wв. Это осуществляется за счет увеличения емкости С , т.е. за счет увеличения толщины проводов плеч. В случае плоских вибраторов увеличение емкости достигается увеличением площади пластин.

12.8 Коэффициент направленного действия симметричного вибратора

По определению коэффициент направленного действия (КНД) равен отношению мощности излучения изотропного излучателя и мощности излучения данной антенны в направлении максимума главного лепестка диаграммы направленности при условии, что обе антенны в точке приема создают одинаковую напряженность поля (В.7):

. (12.55)

где

, (12.56)

, (12.57)

откуда

, (12.58)

В плоскости, нормальной к оси вибратора, поле не зависит от α. Поэтому выражение (12.58) принимает вид:

, (12.59)

Формула (12.59) позволяет определить КНД и для диполя Герца, диаграмма направленности которого определяется как . В этом случае интеграл в знаменателе формулы (12.59) табличный и равен . Отсюда КНД диполя Герца D = 1,5.

Для симметричного вибратора произвольной длины удобнее КНД определять другим способом, используя иную трактовку КНД:

, (12.60)

где - квадрат амплитуды напряженности поля в точке приема в направлении максимума излучения (φ = 0), создаваемого направленной антенной, - квадрат амплитуды напряженности поля, создаваемого изотропным источником при условии, что оба излучателя излучают одинаковую мощность. Здесь

, (12.61)

. (12.62)

На основании (12.61) и (12.62) получим:

. (12.63)

В качестве примера определим КНД вибраторов различной длины.

1. , Ом, .

2. , Ом, .

3. , Ом, .

График зависимости КНД от относительной длины вибратора приведен на рис. 12.18. Как следует из рис. 12.18, максимальный КНД получается в случае, если . При дальнейшем увеличении длины вибратора КНД уменьшается из-за увеличения уровня боковых лепестков и уменьшения уровня основного лепестка.

12.9 Укорочение симметричного вибратора

Фазовая скорость волны в вибраторе меньше скорости света.

Поэтому длина волны в вибраторе , где . Если длину вибратора определять в длинах волн λ0, то такой вибратор оказывается длиннее резонансного, и его входное сопротивление Zвх становится комплексной величиной. Расчеты показывают, что входное сопротивление полуволнового вибратора равно

, Ом. (12.64)

Чтобы сделать вибратор резонансным, его укорачивают. Для определения величины укорочения воспользуемся выражением для реактивной составляющей входного сопротивления Хвх (12.44):

В случае полуволнового вибратора . Тогда,

(12.65)

В действительности , поэтому

(12.66)

Учитывая, что и , окончательно получим

(12.67)

Из (12.67) следует, что, чем меньше волновое сопротивление вибратора, тем больше величина укорочения. В диапазоне СВЧ это обстоятельство усложняет изготовление симметричных вибраторов с низким волновым сопротивлением, т.к., чем меньше волновое сопротивление, тем толще вибратор, и тем он должен быть короче. В конечном счете, вибратор теряет свойства линейного излучателя.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется симметричным вибратором?
2. Почему в качестве прототипа симметричного вибратора выбрана двухпроводная длинная линия?
3. Что называется сопротивлением излучения симметричного вибратора?
4. Объяснить причину возникновения боковых лепестков в ДН.
5. Что называется действующей длиной симметричного вибратора?
6. От чего зависит полоса пропускания симметричного вибратора?
7. Как зависит КНД от относительной длины вибратора?

назад | cодержание | вперёд