Практические задания. Теория электрических цепей

### Практические задания

## Методические указания по самостоятельной работе студентов

### Упражнения и задачи

### 1 Расчет переходных процессов в электрических цепях.

В разделе рассматривается расчет цепей постоянного тока первого и второго порядка классическим и операторным методами.

1.1 Краткие теоретические сведения

Классический метод расчета.

Зависимость (ток или напряжение на любом участке цепи) во время переходного процесса является результатом решения неоднородного дифференциального уравнения, поэтому ее можно представить в виде:

, (1.1)

где - принужденная составляющая, значение которой определяют в установившемся режиме ;

- свободная составляющая, вид которой определяется корнями характеристического уравнения.

(1.2)

Цепи первого порядка.

, (1.3)

где - постоянная интегрирования;

- корень уравнения (1.2);

- значение искомой функции в момент коммутации.

Цепи второго порядка.

В цепях второго порядка возможны три варианта записи искомой функции:

; (1.4)

; (1.5)

, (1.6)

соответственно трем видам корней уравнения (1.2):

- разным действительным , ;

- равным действительным ;

- комплексно - сопряженным .

Постоянные интегрирования можно определить из следующих уравнений:

- для функции (1.4):

(1.7)

- для функции (1.5):

(1.8)

- для функции (1.6):

(1.9)

где - значение искомой функции в момент коммутации;

- значение производной искомой функции в момент коммутации.

Порядок расчета .

1) Найти независимые начальные условия (ННУ), т.е. определить и

в схеме до коммутации .

2) Составить уравнения по законам Кирхгофа для схемы при .

3) Найти .

4) Найти (для цепей второго порядка).

5) Найти .

6) Найти корни уравнения .

7) Записать в общем виде и определить постоянные интегрирования.

8) Записать ответ, сделать проверку при , .

9) Построить график .

Рекомендации:

- В пунктах 1 и 5 при определении ННУ и целесообразно начертить схемы при и , учитывая, что в установившемся режиме постоянного тока , .

- В пункте 2 при выборе независимых контуров предпочтение следует отдавать контурам, содержащим конденсаторы и резисторы.

- В пункте 3 для определения можно начертить эквивалентную схему, заменив индуктивность – источником тока , а емкость – источником напряжения .

Операторный метод расчета.

В основе этого метода лежит замена функций времени их изображениями на основании прямого преобразования Лапласа:

,

в результате чего решение дифференциальных уравнений относительно функций времени заменяется решением алгебраических уравнений относительно их изображений.

Порядок расчета .

1) Найти независимые начальные условия ( , ), для чего рассмотреть схему для коммутации.

2) Изобразить эквивалентную операторную схему замещения.

3) Найти изображение искомого тока или напряжения одним из методов расчета цепей в стационарных режимах.

4) Перейти от полученного изображения к оригиналу (току или напряжению в функции времени).

Рекомендации:

- При выполнении п.2 замену реактивных элементов осуществить в соответствие с таблицей 1.

Таблица 1.

Исходная схема | Операторная схема замещения

- В п.4 можно воспользоваться теоремой разложения [ 1 ] или таблицей 2 соответствия оригиналов и изображений.

Таблица 2

1 |  |
2 |  |
3 |  |
4 |  |
5 |  |
6 |  |
7 |  |
8 |  |
9 |  |

1.2. Задачи

Задача 1.

В данной схеме определить закон изменения тока при размыкании ключа К, если Е = 60 В; R1=R3= 10 Ом; R2 = 15 Ом; L = 40 мГн.

Решение:

Для определения ННУ рассмотрим схему до коммутации:

>

На основании закона Ома находим:

На основании 1-го закона коммутации запишем ННУ:

Составим уравнения по законам Кирхгофа для схемы рис. 1.1.

(1.10)

На основании (1.3) запишем:

(1.11)

(1.11) Для определения рассмотрим схему в момент коммутации:

Используя метод наложения, найдем:

Для определения рассмотрим схему при :

Используя закон Ома и формулу разброса, найдем:

Для составления характеристического уравнения запишем входное сопротивление схемы после коммутации и приравняем его к нулю:

Найдем корень полученного уравнения:

Постоянная времени

Определяем в соответствии с (1.11):

Проверка: ,

, .

График :

Задача 2

В данной схеме найти , , .

Указание: искомые функции можно найти, используя формулу (1.3) или систему уравнений (1.10) с учетом найденного выше тока .

Рекомендуется найти обоими методами.

Ответ: А. А. В.

Задача 3.

В данной схеме найти и при размыкании ключа. В; Ом; Ом; Гн.

Ответ: А;

В.

Задача 4.

Решить предыдущую задачу при замыкании ключа.

Ответ: А; В.

Задача 5.

Считая все параметры данной цепи известными, найти , , , при замыкании ключа и качественно построить их графики.

Задача 6.

Определить во сколько раз повысится напряжение на зажимах вольтметра в момент размыкания ключа, если E=100 В;

R=50 Ом; L=50 мГн; R=6 кОм.

Ответ: 120 раз.

Задача 7.

Определить величину сопротивления резистора , при котором напряжение на нем в момент отключения не превышает 600 В, если E=200 В; =10 Ом; L=50 мГн.

Ответ: = 30 Ом.

Задача 8.

В схеме найти законы изменения:

и при размыкании ключа,если =100 В; =400 В; ==10 Ом; =10 мГн.

Ответ: ;

.

Задача 9.

Решить предыдущую задачу при замыкании ключа.

Ответ: ;

.

Задача 10.

В схеме найти законы изменения , при замыкании ключа, если ; ; Ом; Ом; мкФ.

Решение:

Определим ННУ из схемы до коммутации: .

На основании 2-го закона коммутации запишем:

.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для схемы:

(1.12)

На основании (1.3) можно записать:

(1.13)

Для определения используем уравнения (1.12) для момента .

С учетом того, что , получим:

;

;

.

Значения и найдем из схемы при .

На основании законов Ома и Кирхгофа:

;

;

.

Для составления характеристического уравнения запишем входное сопротивление схемы и приравняем его к нулю.

.

Найдем корень полученного уравнения:

.

Ответ:

;

.

Примечание: ток можно было найти из соотношения .

Проверка: , ;

;

, ;

.

Графики найденных функций:

Постоянная времени цепи:

мс.

Задача 11

В схеме определить законы изменения , и построить графики этих функций.

Ответ: ; .

Задача 12.

В схеме найти законы изменения , при размыкании ключа.

Ответ: ; .

Задача 13.

В схеме определить законы изменения напряжения на конденсаторе и токов во всех ветвях, если ;кОм; кОм; мкФ.

Ответ: ; мА; мА; мА.

Указание: Решение задачи целесообразно начать с определения ,

остальные функции найти из законов Кирхгофа.

Задача 14.

В схеме найти законы изменения , , , при переходе ключа в положение 2, если ; ; кОм; кОм; мкФ.

Ответ: ; мА; мА; мА.

Задача 15.

В схеме найти законы изменения , , , после размыкания ключа, если ; Ом; Ом; Ом; Гн; мкФ.

Ответ: ; А; А; .

Задача 16.

В схеме найти закон изменения тока после замыкания ключа, если ; мГн; мкФ; Ом.

Решение:

На основании законов коммутации запишем ННУ:

Составим уравнения по законам Кирхгофа для схемы:

; (1)

; (2) (1.14)

. (3)

Дополнительно учтем:

. (4)

Определим из схемы в момент коммутации:

По закону Ома:

.

Определим . Для этого продифференцируем уравнение (1) из системы (1.14) и учтем уравнение (4).

;

;

.

Определим из схемы при :

.

Для составления характеристического уравнения запишем входное сопротивление схемы:

и приравняем его к нулю.

;

;

.

Определим корни полученного уравнения:

;

; .

Запишем искомый ток в виде:

.

Для определения постоянных интегрирования и на основании (1.7)

составим систему уравнений:

(1.15)

Используя ранее определенные и , найдем:

;

.

Ответ: .

График полученной функции:

Примечание: экспонента убывает в 4 раза быстрее, чем экспонента , поэтому время переходного процесса определяется значением , т.е. мс; постоянная мс.

Задача 17.

В схеме определить законы изменения , , , качественно построить графики этих функций.(Параметры элементов взять из задачи 16).

Ответ: ;

;

.

Задача 18.

В схеме изменить величину индуктивности (мГн) и определить закон изменения .

Решение:

Изменение индуктивности приведет к изменению корней характеристического уравнения и свободной составляющей тока .

Характеристическое уравнение для схемы:

примет вид:

,

его корни будут комплексно - сопряженными:

.

Запишем .Поскольку корни комплексно – сопряженные, то выражение будет иметь следующий вид:

.

Для определения постоянных и на основании (1.9) составим систему уравнений:

(1.15)

Значения и , возьмем из решения задачи 16.

.

Решая, получим: ; .

Ответ: .

Для построения графика определим постоянную времени и период свободных колебаний :

;

.

Время переходного процесса ; .

График функции :

Задача 19.

В схеме найти законы изменения , при размыкании ключа, если ; Ом; Ом; мГн; мкФ.

Ответ: ;

.

Задача 20.

В схеме изменить значение емкости конденсатора ( мкФ). Найти законы изменения , , а также величину постоянной времени и периода свободных колебаний .

Ответ:

; ; .

Задача 21.

В схеме определить законы изменения , , если ; Гн; Ом; мкФ.

Ответ: ;

.

Задача 22.

В схеме найти значения всех токов при , , , если ; Ом; Ом; Ом; Гн; мкФ.

Ответ приведен в форме таблицы 3.

Таблица 3

| 6 | 6 | 5,25
| 4 | 4 | 5,25
| 0 | 2 | 0

Задача 23.

В схеме найти корни характеристического уравнения, постоянную времени .

Ответ: ;

мс.

Задача 24.

В схеме найти законы изменения токов , , .

Ответ: ;

;

.

Задача 25.

Качественно построить графики , , , если ; Ом; Гн; пФ.

Решение:

Найдем значения искомых функций до коммутации из схемы:

;

;

.

Найдем , , , в момент коммутации .

Значения и , находим на основании законов коммутации:

;

.

Значение находим по 2-ому закону Кирхгофа при для схемы:

;

;

.

Определим , , при ( в установившемся режиме ):

, , .

Результаты сведем в таблицу 4.

Таблица 4.

| 0 | 0 | 0
| 0 | -150 | 0
| 3 | 3 | 0

Определим характер переходного процесса. Для этого найдем корни характеристического уравнения: ;

;

;

;

; .

Действительным корням характеристического уравнения соответствует апериодический характер переходного процесса.

Графики искомых функций:

Примечание: при построении графиков учтены соотношения:

; .

Задача 26.

В схеме определить величину критического сопротивления, если Гн; мкФ.

Ответ: Ом.

Задача 27.

В схеме найти операторным методом, если Ом; ; Гн; мкФ.

Решение:

Рассмотрим схему до коммутации, на основании законов коммутации запишем ННУ.

Составим эквивалентную схему:

Найдем изображение тока , используя метод узловых напряжений и закон Ома.

;

. (1.16)

После подстановки численных значений в (1.16) получим изображение :

.

Оригинал искомой функции найдем по теореме разложения

, (1.17)

где и корни полинома .

Определим корни знаменателя :

; ; .

Вычислим производную и ее значение при и :

;

;

.

Вычислим и :

;

.

Найденные значения подставим в (1.17) и определим и :

.

Задача 28.

Решить задачу 27, если Ом.

Решение:

После подстановки численных значений в (1.16) изображение искомого тока примет вид:

.

- Найдем корни многочлена :

:

.

- Для комплексно – сопряженных корней теорему разложения (1.17) можно записать в виде:

(1.18)

- Вычислим и :

;

;

;

Найдем :

Задача 29.

В схеме найти операторным методом, если ; Ом; Гн; мкФ.

Ответ: .

Указание: Изображение искомого тока имеет вид .

Так как многочлен в знаменателе имеет нулевой корень, то теорема разложения примет следующий вид:

. (1.19)

Задача 30.

В схеме найти , операторным методом, если ; Ом; Гн; мкФ.

Отвeт: ;

.

Указание: При значении Ом корни знаменателя комплексно – сопряженные, поэтому теорему разложения (1.19) можно записать в виде:

. (1.20)

Задача 31.

В схеме найти операторным методом, если ; Ом; Гн; мкФ.

Ответ: .

Задача 32.

В схеме найти операторным методом, если ; Ом; Гн; мкФ.

Решение:

- Определим независимые начальные условия, рассмотрев данную схему до коммутации:

;

- Составим эквивалентную схему:

- Найдем изображение .

Определим предварительно изображение напряжения по методу узловых напряжений :

(1.21)

Изображение найдем по закону Ома:

(1.22)

Поставив (1.21) в (1.22), произведем алгебраические преобразования и получим ( с учетом: ):

.

Найдем корни полинома :

.

При наличии кратных корней в знаменателе применить теорему разложения в обычном виде (1.17, 1.19) нельзя, поэтому оригинал тока найдем, используя таблицу 2 соответствия оригиналов и изображений. Приведем изображение к табличному виду.

. (1.23)

В таблице 2 находим соответствие: .

На этом основании:

.

Задача 33.

В схеме операторным методом найти ток .

Решение:

Найдем изображение тока в схеме:

по закону Ома:

. (1.24)

найдено в предыдущей задаче.

После подстановки (1.21) в (1.24) и соответствующих преобразований, получим:

.

Корни полинома в знаменателе найдены ранее:

.

Определение оригинала тока произведем с помощью таблицы 2.

Для этого приведем к табличному виду:

. (1.25)

Каждому слагаемому можно подставить в соответствие оригинал на основании следующих табличных соотношений:

;

;

.

Найдем оригинал .

### 2. Расчет реакции цепи на произвольное воздействие.

2.1. Краткие теоретические сведения.

Интегралы Дюамеля и наложения.

Для расчета реакции цепи на произвольное воздействие можно воспользоваться интегралами Дюамеля или интегралами наложения.

Интегралы Дюамеля позволяют рассчитать реакцию цепи по известной переходной характеристике цепи :

; (2.1)

. (2.2)

Интегралы наложения позволяют рассчитать реакцию цепи по известной импульсной характеристике цепи :

; (2.3)

, (2.4)

где - момент наблюдения реакции цепи;

- начальное значение воздействия;

- производная воздействия;

- соответственно переходная и импульсная характеристики цепи, в которых переменная заменена на .

Примечание:

- Если внешнее воздействие описывается сложной функцией, имеющей различное аналитическое выражение для различных интервалов времени, то реакцию цепи определяют для каждого интервала в отдельности.

- Если внешнее воздействие содержит скачок значений в момент времени , то реакция цепи на него учитывается дополнительным слагаемым: .

Переходная характеристика цепи.

Переходная характеристика есть реакция цепи на единичный скачок напряжения:

и численно равна переходному току или напряжению на участке цепи при включении этой цепи на постоянное напряжение, равное 1 вольту:

Найти переходную характеристику можно классическим или операторным методами.

Импульсная характеристика цепи.

Импульсная характеристика цепи есть реакция цепи на импульсную функцию (единичный импульс):

(2.5)

Импульсная характеристика связана с переходной характеристикой следующим соотношением:

. (2.6)

Импульсную характеристику можно определить по известной переходной характеристике из соотношения (2.6) или непосредственно по схеме операторным методом.

Примечание: изображение импульсной функции .

Порядок расчета реакции цепи на произвольное воздействие с применением интеграла Дюамеля.

1) Найти переходную характеристику по току или по напряжению классическим или операторным методом.

2) Найти заменой переменной “” на “()”.

3) Найти , в полученном выражении заменить “” на “”.

Примечание: если задана графически, то предварительно найти аналитическое выражение .

4) Найденные функции подставить в (2.1), (2.2) и найти .

Порядок расчета реакции цепи на произвольное воздействие с применением интеграла наложения.

1) Найти импульсную характеристику цепи по току или по напряжению операторным методом или из соотношения (2.6).

2) Найти заменой переменной “” на “”.

3) Найти аналитическое выражение воздействия , если оно задано графически.

4) Подставить найденные функции в (2.3), (2.4) и найти .

2.2 Задачи.

Определение переходных и импульсных характеристик цепи.

Задача 1.

В схеме определить переходную характеристику по току ветви с емкостью классическим и операторным методами, если =2 кОм; =1 мкф

.

Решение :

Рассмотрим включение данной схемы к источнику напряжения, э.д.с. которого Е=1В:

При этом =.

а) Классический метод

Запишем независимые начальные условия .

Найдем

,

где постоянная интегрирования ;

и постоянная времени с.

.

Значение найдем из уравнений по законам Кирхгофа в момент =0 для схемы:

из которых следует: А.

Ответ: См.

б) Операторный метод.

Найдем изображение по схеме:

На основании закона Ома имеем:

где

.

Полученному изображению соответствует, на основании таблицы 2, функция времени: .

Ответ: Cм.

Задача 2.

В схеме определить импульсную характеристику по току ветви с емкостью классическим и операторным методами.

Решение:

а) Классический метод

В соответствии с (2.6) и (2.7) найдем

(2.8)

б) Операторный метод

Эквивалентная операторная схема с учетом соотношения примет вид:

Найдем изображение тока , применяя закон Ома в операторной форме:

По таблице 2 находим функцию по изображению :

А.

Ответ: .

Задача 3.

В схеме определить переходную характеристику по напряжению, если кОм; кОм; кОм; мкФ.

Решение:

Рассмотрим включение схемы к источнику напряжения, э.д.с. которого Е=1В

При этом согласно определению:

Напряжение найдем классическим методом.

где В;

Ответ: .

Задача 4.

В схеме определить импульсную характеристику по напряжению

Решение:

а) Классический метод

В соответствии с (2.6) и (2.9) найдем:

б) Операторный метод

Так как импульсная характеристика есть реакция цепи на импульсную функцию , изображение которой равно I, то эквивалентная операторная схема будет иметь вид:

Найдем изображение напряжения на емкости .

;

;

После подстановки исходных данных получим изображение , которому соответствует функция времени (см. таблицу 2):

В.

Ответ: .

Задача 5.

В схеме найти переходные характеристики по току всех ветвей и по напряжению на индуктивности, если Ом; Ом; Ом; мГн.

Ответ: А;

А;

А;

.

Задача 6.

В схеме найти импульсную характеристику по току для ветви с индуктивностью и по напряжению на индуктивности. Решить классическим и операторным методами.

Ответ: ;

.

Задача 7.

В схеме записать в общем виде выражение для переходной и импульсной характеристики по напряжению.

Задача 8.

В схеме записать в общем виде выражение переходной и импульсной характеристики по напряжению.

Задача 9.

В схемах записать в общем виде выражение переходной и импульсной характеристики по току и напряжению.

Применение интеграла Дюамеля.

Задача 10.

По известной переходной характеристике цепи: найти ее реакцию на внешнее воздействие :

Решение:

Внешнее воздействие есть линейно – возрастающее напряжение, аналитическая запись которого следующая:

.

Для определения воспользуемся интегралом Дюамеля (2.1):

,

где ;

;

;

.

Тогда: . (2.10)

График реакции цепи на линейно - возрастающее напряжение :

Задача 11.

Найти реакцию цепи на внешнее воздействие , если ;

мс.

Решение:

Переходная характеристика цепи задана: .

Внешнее воздействие имеет различные аналитические выражения для двух интервалов времени:

Реакцию цепи также найдем для каждого интервала времени в отдельности, воспользовавшись интегралом Дюамеля (2.1).

1 интервал

Внешнее воздействие на первом интервале не отличается от воздействия, рассмотренного в предыдущей задаче:

поэтому и реакция будет одинакова (2.10)

В.

2 интервал

В соответствии с принципом наложения, реакция цепи будет равна сумме реакций, обусловленных всей совокупностью воздействий, предшествующих рассматриваемому моменту времени .

(2.11)В выражении (2.11) первый интервал отличается от аналогичного на первом интервале только верхним пределом интегрирования, а во втором интеграле , т.к. , по этому:

В.

Ответ:

Графики и :

Значения при вычислены на первом и втором интервалах:

В;

В.

Задача 12.

Найти реакцию данной цепи на внешнее воздействие , где В; мс.

Указание: предварительно рассмотреть решение задач 10,11.

Решение:

Аналитическая запись внешнего воздействия:

Реакция цепи на на первом и втором интервалах найдена в задаче 11.

Определим реакцию на третьем интервале .

,

где: В – есть скачок напряжения

в момент ;

В.

Ответ: .

Графики и :

Значения в момент вычислено на втором и третьем интервалах:

;

В.

Задача 13.

По известной переходной характеристике цепи .

Найти ее реакцию на внешнее воздействие :

, где ; мс.

Ответ:

Указание: внешнее воздействие можно записать в следующем виде:

Задача 14.

В цепи найти реакцию на внешнее воздействие:

по известной переходной характеристике Cм.

Ответ:

Задача 15.

Для цепи найти реакцию на внешнее воздействие :

где ;

мс; Ом;

мГн.

Указание: внешнее воздействие можно записать следующим образом:

Ответ:

Задача 16.

Для цепи найти в общем виде реакцию на внешнее воздействие , определяемые графиками.

Применение интеграла наложения.

Задача 17.

Для схемы по известной импульсной характеристике найти реакцию на внешнее воздействие , если Гн; Ом.

Решение:

Для определения используем интеграл наложения (2.3)

,

где: ;

.

Тогда:

.

Графики воздействия и реакции :

Примечание: импульсную характеристику предлагается найти самостоятельно.

Задача 18.

Для схемы по известной импульсной характеристике найти реакцию на входное воздействие в виде прямоугольного импульса, если ; мс .

Решение:

Определим реакцию цепи на заданное воздействие на каждом интервале в отдельности.

I интервал:

;

.

С учетом того, что , получим:

.

II интервал:

;

.

С учетом того, что , получим:

.

График :

Примечание: задачу рекомендуется решить дополнительно с применением интеграла Дюамеля и сравнить полученные результаты.

### 3. Расчет цепей спектральным методом.

3.1 Краткие теоретические сведения.

Спектры периодических сигналов.

Любой периодический сигнал с периодом , удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен рядом Фурье в двух формах:

; (3.1)

. (3.2)

Коэффициенты ряда (3.1) равны.

; (3.3)

. (3.4)

Переход от первой формы ряда (3.1) ко второй (3.2) осуществляется с помощью формул:

; ; ; (3.5)

обратный переход:

; . (3.6)

Совокупность амплитуд (включая ) и фаз (3.2) называются соответственно спектрами амплитуд и фаз.

Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

, (3.7)

где комплексные амплитуды определяются по формуле:

. (3.8)

Спектр периодического сигнала является дискретным (или линейчатым). Спектральные составляющие отстоят друг от друга на расстоянии круговой частоты (частота первой гармоники), которая связана с периодом повторения временной функции соотношением:

. (3.9)

Спектры непериодических сигналов.

Непериодические сигналы представляются интегралом Фурье:

, (3.10)

где - спектральная плотность сигнала, которая определяется по формуле:

. (3.11)

Выражая (3.10) и (3.11) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.

Непериодические сигналы имеют сплошной спектр.

Модуль спектральной плотности носит название спектральной плотности амплитуд, а аргумент - спектральной плотности фаз.

Существует связь между комплексным спектром периодического сигнала и спектральной плотностью непериодического сигнала:

; . (3.12)

Для сигналов , равных нулю при , спектральная плотность может быть найдена из преобразования Лапласа путем замены оператора на оператор .

Например, спектральная плотность экспоненциального импульса может быть найдена из операторного изображения импульса путем замены оператора на :

.

Изображение по Лапласу - функции равно , откуда спектральная плотность .

Теоремы о спектрах.

Теорема линейности:

.

Теоремы дифференцирования и интегрирования:

; .

Теорема об изменении масштаба:

.

Теорема запаздывания:

.

Теорема смещения:

.

Теорема Релея:

Энергия сигнала может быть вычислена по временной и спектральной функциям:

,

где - энергетический спектр.

Шириной спектра сигнала будем считать полосу частот, в которой заключено 90 энергии сигнала.

Теорема свертки:

.

Свертке сигналов соответствует произведение их спектральных плотностей.

Порядок расчета цепей спектральным методом.

Комплексная передаточная функция цепи:

определяется отношением спектральных плотностей сигналов на выходе и входе цепи. связана с импульсной характеристикой цепи парой преобразования Фурье:

;

.

Приведем порядок расчета цепей:

1) Определяют спектральную плотность входного сигнала .

2) Определяют комплексную передаточную функцию цепи .

3) Определяют спектральную плотность сигнала на выходе цепи:

.

4) Определяют выходной сигнал:

.

Неискажающая цепь.

Неискажающая цепь не изменяет формы сигнала. Она изменяет только амплитуду входного сигнала и вносит запаздывание:

.

В соответствии с теоремами линейности и запаздывания

.

Откуда комплексная передаточная функция неискаженной цепи:

.

Таким образом, модуль неискажающей цепи (т.е. АЧХ) постоянен, а фазочастотная характеристика (ФЧХ) – линейна.

3.2. Задачи.

Задача 1.

Найти и построить спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов вида:

для двух случаев: мкс;

мкс; если ; мкс.

Решение:

Периодическую последовательность импульсов можно представить в виде ряда Фурье:

.

- комплексная амплитуда n – ой гармоники.

Для определения комплексных амплитуд воспользуемся комплексной формой ряда Фурье:

,

где

.

Учтем, что

;

.

Спектр амплитуд:

.

Спектр фаз:

при ;

при .

Полагая 0, 1, 2…, найдем комплексные амплитуды. При 0

(неопределенность).

Раскроем неопределенность, учитывая, что при .

;

При 1 и т. д.

Данные расчета сведем в таблицу 3.1.

Таблица 3.1.

– номер гармоники | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
, кГц | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400
| , мкс | 10 | 6,37 | 0 | -2,12 | 0 | 1,27 | 0 | -0,91 | 0
, мкс | 5 | 4,5 | 3,18 | 1,5 | 0 | -0,9 | -1,06 | -0,664 | 0

Построим спектры амплитуд для мкс и мкс.

Приведем спектр фаз для мкс.

Выводы:

1) Периодическая последовательность прямоугольных импульсов имеет дискретные спектры амплитуд и фаз. Составляющие спектров отстоят друг от друга на расстоянии:

кГц.

2) Спектр амплитуд содержит составляющие, равные нулю. Номера нулевых гармоник можно найти из уравнения:

;

или

, где , 2, 3,…

В нашем примере нулевые гармоники при мкс; мкс – 2, 4, 6, 8, и т.д.; при мкс – 4, 8, 12,… и т.д.

3) Из рисунка спектров амплитуд видно, что чем уже импульсы (меньше длительность ), тем амплитуды гармонических составляющих меньше и убывают они медленнее с ростом частоты.

Задача 2.

Найти спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов:

если уже найдены спектры для последовательности, приведенной в задаче 1. Решить задачу в общем виде.

Решение:

Данная последовательность отличается от приведенной в задаче 1 тем, что импульсы запаздывают на время . Используя теорему запаздывания, найдем спектр комплексных амплитуд по формуле:

.

Спектр амплитуд останется прежним .

Спектр фаз будет равен:

при ;

при .

Приведем спектр фаз для мкс, мкс:

или .

Задача 3.

Построить качественно спектр амплитуд последовательности прямоугольных импульсов с периодом повторения мс и длительностью импульсов мс.

Решение:

Определим гармоники, амплитуды которых равны 0:

, где , 2, 3,…

Таковыми будут гармоники 5, 10,15,… Частота 1-й гармоники f1=1/T=100 Гц.

Построим качественно график спектра амплитуд.

Задача 4.

Найти спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса:

пользуясь спектром периодической последовательности прямоугольных импульсов, полученных в задаче 1. Привести качественно график модуля спектральной плотности .

Решение:

Используем связь между спектральной плотностью непериодического (одиночного) импульса и спектром комплексных амплитуд периодического сигнала:

;

; ;

;

.

Данную задачу можно решить другим способом, используя непосредственно прямое преобразование Фурье:

;

;

.

Прежде чем строить график , определим значение при :

; (неопределенность)

Чтобы раскрыть неопределенность, воспользуемся соотношением:

;

.

Определим частоты, при которых :

;

, где , 2, 3,…

Построим график :

Выводы:

1) Спектр одиночного прямоугольного импульса является сплошным.

2) Форма огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов повторяет форму спектра одиночного импульса.

Задача 5.

Определить спектральную плотность экспоненциального импульса включения:

если:

где ; .

Построить графики и .

Решение:

Определяем спектральную плотность импульса, используя прямое преобразование Фурье:

;

; .

- “спектр амплитуд”;

- “спектр фаз”.

Произведем расчет “спектров” амплитуд и фаз в диапазоне частот = 0400 рад/с. Результаты расчетов сведем в таблицу 3.2.

Таблица 3.2.

, рад/с | 0 | 50 | 100 | 200 | 300 | 400
| 0,2 | 0,142 | 0,09 | 0,048 | 0,033 | 0,025
, град | 0 | 45 | 63 | 76 | 81 | 83

По этим данным построим графики:

Задача 6.

На вход цепи воздействует прямоугольный импульс . Ом; Гн; ; мс. Найти спектральную плотность напряжения на входе цепи .

Решение:

1) Определяем спектральную плотность входного сигнала (см. решение задачи 4):

.

2) Определяем комплексную передаточную функцию цепи:

АЧХ цепи:

.

ФЧХ цепи:

.

Подставим численные значения:

; .

3) Определяем спектральную плотность выходного сигнала:

.

Определим модуль :

.

Сведем результаты расчетов в таблицу 3.3.

Таблица 3.3.

| , рад/с |  |  |
0 | 0 | 1 | 0 | 0
| 1000 | 0,63 | 0,335 | 0,227
| 2000 | 0 | 0,450 | 0
| 3000 | 0,21 | 0,475 | 0,1
| 4000 | 0 | 0,485 | 0
| 5000 | 0,13 | 0,490 | 0,063
| 6000 | 0 | 0,492 | 0

4) Построим графики: , , .

Задача 7.

Найти входное сопротивление и схему цепи, способной формировать импульсы вида: из импульса включения постоянного напряжения .

Решение:

1) Найдем спектральную плотность входного напряжения:

.

2) Найдем спектральную плотность тока . Используем теорему линейности:

;

.

3) Найдем комплексное входное сопротивление цепи:

.

Введем обозначение: ;

;

- последовательное соединение , и

; ; .

Задача 8.

Представить последовательность пилообразных импульсов в виде ряда Фурье. Построить спектры амплитуд и фаз, если ; мс.

Ответ:

Задача 9.

Определить спектральную плотность одиночного пилообразного импульса при ; мс.

Ответ: .

Задача 10.

Найти спектральную плотность функции включения на постоянное напряжение:

Примечание: следует воспользоваться таблицей соответствия оригиналов и изображений.

Ответ: .

Задача 11.

Найти спектральную плотность функции включения на синусоидальное напряжение:

Примечание: то же, что в задаче 3.

Ответ: .

Задача 12.

Найти спектральную плотность сигнала, представляющего собой отрезок синусоиды:

Ответ: .

Задача 13.

На вход цепи подается напряжение . Дано: кОм;

кОм; мкФ. Найти: .

Ответ: .

Задача 14.

Условие задачи 6. Найти .

Ответ: .

Задача 15.

На вход цепи подается напряжение:

Найти .

Ответ: , где

Литература

1. В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И Крук Основы теории цепей: Учебник для вузов.- М.: Радио и связь, 2000.

2. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1986.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.

4. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сборник задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1989.